算数・数学 算数・数学な日々

【柊の自作問題】nを足すとn+1の倍数になる数:小3


最近の話なのですが、毎回ながら突然で💦柊からこんなことを言われました。

倍数や約数の問題を解いているときに、なんか面白い整数の問題を作れないかなと思って考えついたんだ。
でも問題と答えは分かったけど解き方が分からないんだよね~

と。そんな柊からの出題がこちら。

問題


1を足すと2の倍数、
2を足すと3の倍数、
…、
9を足すと10の倍数
を満たす数のうち、2018に一番近い数は?
(2018なのは2018年に引っ掛けているようです)
Kaori
解き方が分からないのに何で答えが分かったの?

と聞いたら

2000代の数を計算しながら探していったら見つけたよ

とのこと。
そんなことを言われても💦と柊にぼやきつつ考えてみたものの…。

MEMO


1を足すと2の倍数ならばある数は奇数。
4を足すと5の倍数ならばある数の一の位は1か6。
よってある数の一の位は必ず1になる。

というところで私はストップでした💧

その後柊から聞いた答えは2521
確かに計算してみると確かにその通り。
でも導き方なんてわかんないよ…というところでこのときは話が終わりました。

その後、とある数学の先生とお話する機会があり、この問題について教えていただくことができました。こちらの問題を教えていただいた先生です。

【柊の自作問題】割り切れる数と割り切れない数:小3

だいぶ前の話なのですが…こんなことがありました。 このときは確か自転車に乗って家まで帰るときで、 柊柊が考えた問題があるんだけど聞いてくれる? と。それがこちら。(そういえば出かけているときに突然出題 ...

 
こちらに関してもパッと見て

数学の先生
中国剰余定理というのを使うといいよ

とのお答えが。
ただ条件が多いから…と、条件が2つの場合を例にして説明してくださいました。

が、これが(今の柊と私にとっては)なかなか難しい。
帰宅後に柊は中国剰余定理を調べて本人なりに理解しようと頑張っていました。

そして私は…この定理を使っての証明はハードルが高そうなので諦めて😅教わったことを元に再び考えてみました。

解答例


ある数は
1を足して2の倍数になるなら2で割って1余る数
2を足して3の倍数になるなら3で割って1余る数
3を足して4の倍数になるなら4で割って1余る数

9を足して10の倍数になるなら10で割って1余る数

ということはある数から1引いた数は2〜10のどれでも割り切れる数

だからある数から1引いた数は
2^3×3^2×5×7=2520
(これで2〜10を素因数分解した数が過不足なく含まれる)

よってある数は
2520+1=2521

これ以降も考えてみると、2520ごとに条件を満たす数が存在する。
そしてこれは1でも成り立つので、条件を満たす数は初項1、公差2520の等差数列になる。

この中で2018に最も近いのは2521

色々荒いと思うし美しくもないけど…私にはこれが限界でした💧
いつか柊が美しく証明して教えてくれる日が来たらいいなぁ。

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