算数・数学 算数・数学な日々

【柊の自作問題】割り切れる数と割り切れない数:小3


だいぶ前の話なのですが…こんなことがありました。

このときは確か自転車に乗って家まで帰るときで、

柊が考えた問題があるんだけど聞いてくれる?

と。それがこちら。(そういえば出かけているときに突然出題されることが多いような…)

問題


1なら1÷1、
2なら1÷2,2÷2、
3なら1÷3,2÷3,3÷3、

(nなら1÷n,2÷n,…,n÷nということです)
と計算していく場合、すべての答えが割り切れる場合と割り切れない場合があるよね。
割り切れるグループと割り切れないグループで何か違いがあるのかな?
2は1÷2も2÷2も割り切れるよね。10も全部1/10になるから割り切れるよね。
でも3は1÷3は0.33…ってなっちゃうからダメだよね。
そうなるのとならないのって何が違うんだろう?

いつも、なぜそんなことを考えるのだろう…とまず言いたくなるのですが💦家までの道で一緒に考えてみました。色々と横道にそれたりもしましたが、要約するとこんな感じ。

MEMO


パッと見た感じ、割り切れるのは2と10…あとは5の倍数も大丈夫そう。
素因数分解してみたときに3とか7とか入ってるとダメそうだよね。
他にも11とか13とかもダメそう…。

じゃあ素因数分解したときに2と5以外が入っていたらダメなのかな。
そんな感じがするけど…なんでって言われたらちゃんと証明できないね。

このときはこんな会話で終わりました。

その後、とあるきっかけで数学の先生にこの質問をする機会がありました。パッと見て

数学の先生
素因数分解したときに2と5だけでできている数が割り切れるものだよ

とのお返事が。

相手が小学生の柊なので、証明ではなく柊が納得できるよう具体例で教えてくださいました。
(私の説明は拙いですが…先生の説明は分かりやすかったです😅)

解答


もしx/3=○.○○○○と割り切れるものがあったとするよね。
小数点以下は何桁でもよいが、例えば今回は第4位までで割り切れると仮定して考えてみようか。

整数にするため、両辺に(今回は第4位なので)10000をかけると
x/3 × 10000 = ○○○○○ となるよね。
(小数第n位までなら両辺に10のn乗をかける)

このときの左辺を考えてみよう。
xを素因数分解したときに3は含まれないよね。
(あればx/3という形にはならない、約分できて最初から整数になるから)

ということは左辺が整数になるためには10000から3が出てこないと矛盾する。
でも10000を素因数分解したときに3は…ない。
10の累乗は何乗しても出てくるのは2と5だけだよね。

今回は3を例にしたけど2と5以外の素数で同じことが言えるよね。
だから素因数分解したときに2と5だけでできている数が割り切れるよ。

というお話でした。
柊はひとつずつ確認するような感じで黒板を見ていて、最後は本人なりに納得できたようです。

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